Vorlesung Komplexe Zahlen

Ludger Kaup
Übungen: Natalie van Eijk, Susanne Scholl

Ausgehend von der Einführung komplexer Zahlen wird das algebraische, geometrische und analytische Umfeld erläutert. Abbildungen, Homomorphismen, Körperautomorphismen werden betrachtet, Längen über ein Skalarprodukt eingeführt, Orthogonalität und lineare Abhängigkeit studiert, Potenzreihen werde für die komplexe Exponentialfunktion benötigt, dazu kommen wesentliche Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen; eine besondere Rolle spielt Pi. Über den euklidischen Algorithmus für normierte Polynome kommen wir schließlich zum analytischen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra und einigen Folgerungen.

Übungen

Die Übungen sollten den Stoff der Vorlesung vertiefen und ergänzen. Die Übungsleiter beantworteten Verständnisfragen und machten die Schüler anhand von Beweisen, die in der Vorlesung aus Zeitgründen nicht vorgetragen werden konnten, mit den mathematischen Beweismethoden vertraut. Anfängliche Schwierigkeiten, wie z.B. daß bei einem Beweis ausschließlich Stoff verwendet werden sollte, der zuvor in der Vorlesung behandelt worden war, wurden so behoben. Besonderer Wert wurde auf Gruppenarbeit gelegt, da sie in der Schule oft zu kurz kommt, für angehende Studenten von mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächern jedoch sehr wichtig ist. Meist kam es zu lebhaften Diskussionen, die unter Anleitung schließlich in einwandfreie Beweise mündeten. So wurde unter anderem gezeigt, daß es auf den reellen Zahlen genau einen Körperautomorphismus gibt und daß im Gegensatz zu den rellen die komplexen Zahlen keinen angeordneten Körper bilden. Die Schüler zeigten sich hoch motiviert und scheuten sich nicht davor nachzufragen, wenn sie etwas nicht verstanden. Hierbei war es sicherlich von Vorteil, daß die Übungsleiter auch Jugendliche waren und so Hemmschwellen gar nicht erst aufkamen. Die für die Übungen angesetzten 90 Minuten reichten nie aus, um den Wissensdurst der Schüler zu stillen. Oft wurden die Gespräche bis zum Abend hin ausgedehnt. Die konstruktive und engagierte gruppendynamische Zusammenarbeit hat den Übungsleitern sehr viel Freude bereitet.


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